jueves, 21 de octubre de 2010

EL VAGO DE COZ.

En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adivino muy astuto. Toda la población trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obligaba a algún desdichado ciudadano a competir contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso futuro cuya respuesta debía ser "sí" o "no". En caso de que el vago acertase la repuesta, el concursante se convertía en su esclavo de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste sería depuesto y condenado a rebuznar durante mil años. Por desgracia para los vecinos, el vago poseía un dilucidador de energía pura, un aparato que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda exactitud. Si usted fuera el próximo rival del gran vago.

¿qué ocurrencia desearía formular?

 

Los trucos ya fueron dados.

"¡Hagan juego, señores!" - repetía el viejo Sigmundo Fraud, conocido feriante de la ciudad de Las Pegas. Un hombre muy rico que conocía bien la tendencia de los humanos a buscar atajos rápidos en la carrera del lucro. "¡Hagan juego, señores!. Aquí tengo cuatro dados. Usted elige uno y yo escojo otro. Quien saque mayor puntuación gana la apuesta. Y además le permito que usted elija primero su dado" - recitaba el incansable. Yo estaba apoyado sobre un banco del paseo comiendo un gran bocadillo de chorizo, y observaba a los transeúntes que acudían al reclamo de Fraud. El juego se me antojaba injusto, porque quizá habría un dado mejor que los otros y sólo el viejo sabría cuál era. "No podrá ganarme muchas veces más" - se consolaba un joven arrogante que llevaba perdidas diez de quince apuestas. Éste iba anotando todos los resultados con el propósito, supuse, de averiguar cuál fuera el mejor de los cuatro dados. La longitud de mi bocadillo permitió que mi curiosidad se inquietase observando aquella escena. Había algo raro, casi mágico, en aquel duelo singular: el joven disponía de la ventaja de poder elegir dado antes que el viejo, y escogía cada uno con la misma frecuencia que los demás. ¡Pero el viejo Fraud también usó cada uno de los cuatro dados el mismo número de veces! Parecía como si no tuviese predilección por ningún dado en particular. Y, no obstante, después de unas cien partidas Fraud había ganado en más de sesenta y cinco ocasiones. Una vez que el joven se hubo retirado, el feriante me retó : "Oiga, usted, el del bocadillo, ¿quiere apostar contra mi?". "¿A cómo paga las apuestas?" - fingí interesarme, pues no llevaba un duro en el bolsillo. "Puede usted ganar tanto como arriesgue" - replicó convincente. Me acerqué y observé detenidamente los dados. El primer dado tenía grabados en sus caras los números 43, 44, 60, 61, 62 y 63. El segundo dado contenía 53, 54, 55, 56, 57 y 58. El tercer dado mostraba 48, 49, 50, 51, 67 y 68. Y en el cuarto dado estaban 45, 46, 47, 64, 65 y 66. Después de un minuto de meditación y masticación resolví: "Acepto. Pero usted elige primero su dado". Sigmundo Fraud me sonrió malicioso. Y después, ignorándome, volvió a gritar hacia el gentío: "¡Hagan juego, señores...!" Sacudiéndome las últimas migajas sobre sus dados, me alejé despacio pensando: "¡Qué chorizo tan curado!".

¿Acertarás, paciente lector, en comprender la estrategia del feriante?

 


 

LAS TRES MOSQUITERAS.

Silvia, Noelia e Ignacia son tres amigas sorprendentes. Silvia nunca miente. Noelia jamás dice la verdad. Ignacia decide ser o no veraz al azar, justo antes de responder. Un día fuimos al campo, y como son tan aprensivas con los mosquitos, habían cubierto sus rostros con velos de tal manera que no podía reconocerlas. Entonces me retaron a ver si podía averiguar quién era cada cual. Sólo iban a contestar a una sola pregunta, la misma para las tres.

Para muestra, un botón.

Un edificio de diez pisos dispone de ascensor. Éste posee un botón por cada uno de los diez pisos, más el botón de la planta calle.

¿Cuál de los once botones es el más utilizado? ¿Cuál es el menos usado?

A LA SOPA BOBA.

Los hermanos Claud y Carlos se reparten tres litros de sopa en sendos platos y a partes iguales. Carlos toma su sopa el doble de rápido que Claud. Pero cuando Carlos termina con su plato, Claud le cede la mitad de lo que todavía queda en el suyo, y así continúan ambos comiendo. Pronto Carlos termina su nueva ración. Claud, generoso, vuelve a cederle la mitad de la que dispone. Y la historia se repite hasta que ambos han terminado con toda la sopa. ¿Cuánta sopa ha tomado cada uno? ¿Tomaría Claud más sopa si ambos comieran directamente de la sopera?

Baja infidelidad.

Juan Rateo desea duplicar una cinta de música que grabó durante un concierto de Erik Claxon. El concierto había durado cincuenta minutos, así que compró un par de cintas de sesenta minutos para realizar la copia. Como él solamente disponía de un magnetófono, pidió prestado un segundo aparato a su hermano, que se llama Pi. Intentando hacer la copia descubrió que su propio magnetófono era dos veces más rápido que el de Pi, y el resultado fue que no todo el concierto pudo ser copiado. Además la copia se oía más rápida y más aguda en su magnetófono. Afortunadamente, Pi era el avispado de la familia Rateo y él pudo solucionar el asunto.

EJERCICIOS DE LOGICA

En la familia Feyer hay ocho hermanos. El padre de ellos, don Roque, es un hombre que posee una gran fortuna y ha querido ser inmortalizado en una gran estatua de bronce macizo que posee en su jardín. Al cabo de unos años don Roque pintó su estatua de negro, empleando un kilo entero de pintura en la tarea, y después la regaló a sus hijos. Pero cada uno de los hijos deseaba conservar en su casa aquella estatua y, después de mucho discutir, resolvieron fundir el bronce, dividirlo en ocho partes y construirse con él ocho réplicas a escala de la estatua, una para cada uno. Para conseguir mayor parecido con el original también pintaron de negro las ocho estatuillas. En esta vez.

Hablemos de sexo.

Dos amigas se encuentran por la calle. - ¿Qué tal, Luisa? ¡Cuantos años sin verte! - ¡Marimar, cuánto has cambiado! - Sí, Luisa, me casé y ya tengo dos adolescentes - Oye, Marimar, ¿alguno de tus chavales es mujer? - Pues, sí, Luisa - ... Habiendo escuchado esta animada conversación,

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No he entendido algunas voces que, en señal de protesta por la demanda que Íngrid Betancourt intentó entablar contra el Estado, anunciaron que no leerían el libro “No hay silencio que no termine”, donde ella narra su vida de cautiverio en poder de las Farc. Por el contrario, la mejor manera de enterarnos de los métodos de tortura empleados por el grupo guerrillero es leyendo esta obra de espeluznante patetismo.
Libro conmovedor, de la primera a la última página. A medida que avanzaba en las 710 páginas que contiene el relato (formado por capítulos breves y frases ágiles), cada vez me convencía más de la gran capacidad de narradora –con talento de novelista e impresionante poder de reflexión y análisis– que Íngrid Betancourt pone en evidencia en su obra magistral. El libro le salió del alma, y por eso está escrito con alto grado de realismo, espontaneidad y sinceridad, e incluso de nobleza frente a los vejámenes de que fue víctima.
Le puso como condición a la editorial que ella lo escribiría sola, sin necesidad de un asesor profesional. Durante largo tiempo se refugió en un sitio solitario,  donde aislada de interferencias se impuso un régimen riguroso de disciplinas. Serenó el espíritu para poder pensar. Al frente le quedaba la nieve, buscada por ella misma como cortina mágica para alejar el verde de la naturaleza que le recordaría a la selva, para de esa manera purificar el alma y hacer fluir el pensamiento.
Paso a paso y valiéndose de su portentosa memoria e imaginación, en el libro recorre trochas, ríos, campamentos, lugares atroces y nauseabundos. Abre para el país la verdad que se esconde en las profundidades de las selvas vírgenes convertidas en cárceles infamantes, donde a merced del oprobio, la humillación y los actos de fuerza, los prisioneros pierden la dignidad humana y son tratados peor que animales. Leyendo estas páginas, pensaba yo en los campos nazis de concentración y en el diario de Ana Frank.
El alma poética que existe en Íngrid Betancourt dibuja los paisajes de la jungla con fascinantes pinceladas que por momentos alejan al lector del horizonte de crueldad que allí se vive, y hasta le crean la ficción de hallarse en la selva embrujada de La vorágine. La propia descripción de las culebras, las fieras, los cocodrilos, las tarántulas e infinidad de alimañas salvajes está hecha con mano maestra. Tal vez la autora está fugada de la literatura. Cambiar hoy la política por la literatura sería un destino ideal.
Es inaudito que las fieras humanas que han mantenido en prisión a tantos colombianos inocentes, y se han ensañado con el suplicio hasta límites impensables, no recapaciten en que deben frenar su odio contra la sociedad. Quizá los testimonios de quienes salen a la libertad formen al fin en ellos la conciencia de que por las armas y el tráfico de drogas nada conseguirán, fuera del repudio de los colombianos.

EL FIN DEL SILENCIO

Por: Gustavo Páez Escobar
Regla fundamental para leer un libro, con provecho y juicio sereno, es hacer abstracción de la simpatía o antipatía que despierte el nombre del autor en el ánimo del lector. El libro vale por sí mismo. Si se llega a él con prejuicio, se cierra la puerta del disfrute y de la  independencia mental.

ABSTRACCIÓN (INFORMÁTICA)

La abstracción consiste en aislar un elemento de su contexto o del resto de los elementos que lo acompañan. En programación, el término se refiere al énfasis en el "¿qué hace?" más que en el "¿cómo lo hace?" (característica de caja negra). El común denominador en la evolución de los lenguajes de programación, desde los clásicos o imperativos hasta los orientados a objetos, ha sido el nivel de abstracción del que cada uno de ellos hace uso.
Los lenguajes de programación son las herramientas mediante las cuales los diseñadores de lenguajes pueden implementar los modelos abstractos. La abstracción ofrecida por los lenguajes de programación se puede dividir en dos categorías: abstracción de datos (pertenecientes a los datos) y abstracción de control (perteneciente a las estructuras de control).
Los diferentes paradigmas de programación han aumentado su nivel de abstracción, comenzando desde los lenguajes de máquina, lo más próximo al ordenador y más lejano a la comprensión humana; pasando por los lenguajes de comandos, los imperativos, la orientación a objetos (OO), la Programación Orientada a Aspectos (POA); u otros paradigmas como la programación declarativa, etc.
La abstracción encarada desde el punto de vista de la programación orientada a objetos expresa las características esenciales de un objeto, las cuales distinguen al objeto de los demás. Además de distinguir entre los objetos provee límites conceptuales. Entonces se puede decir que la encapsulación separa las características esenciales de las no esenciales dentro de un objeto. Si un objeto tiene más características de las necesarias los mismos resultarán difíciles de usar, modificar, construir y comprender.
La misma genera una ilusión de simplicidad dado a que minimiza la cantidad de características que definen a un objeto.
Durante años, los programadores se han dedicado a construir aplicaciones muy parecidas que resolvían una y otra vez los mismos problemas. Para conseguir que sus esfuerzos pudiesen ser utilizados por otras personas se creó la POO que consiste en una serie de normas para garantizar la interoperabilidad entre usuarios de manera que el código se pueda reutilizar.

[editar] Uso

A grandes rasgos, la abstracción, permite que dispongamos de las características de un objeto que necesitemos. Si necesitamos el objeto Persona, podríamos poner nombre, edad, dirección, estado civil, etc. Si lo necesitamos en un sistema administrativo, pero, si lo requerimos para el área de biología, dentro de sus atributos quizá tengamos, ADN, RND, Gen x1, Gen x2, etc. Y los atributos antes mencionados no sean requeridos. En general, podemos decir que Persona cuenta con todos los atributos mencionados aquí, pero, por el proceso de abstracción excluimos todos aquellos, que no tiene cabida en nuestro sistema.

[editar] Ejemplo

Pensar en términos de objetos es muy parecido a cómo lo haríamos en la vida real. Una analogía sería modelizar un coche en un esquema de POO. Diríamos que el coche es el elemento principal que tiene una serie de características, como podrían ser el color, el modelo o la marca. Además tiene una serie de funcionalidades asociadas, como pueden ser ponerse en marcha, parar o aparcar. En un esquema POO el coche sería el objeto, las propiedades serían las características como el color o el modelo y los métodos serían las funcionalidades asociadas como ponerse en marcha o parar.
Por poner otro ejemplo vamos a ver cómo modelizaríamos en un esquema POO una fracción, es decir, esa estructura matemática que tiene un numerador y un denominador que divide al numerador, por ejemplo 3/2. La fracción será el objeto y tendrá dos propiedades, el numerador y el denominador. Luego podría tener varios métodos como simplificarse, sumarse con otra fracción o número, restarse con otra fracción, etc.
Estos objetos son utilizables en los programas, por ejemplo en un programa de matemáticas se puede hacer uso de objetos fracción y en un programa que gestione un taller de coches, objetos coche. Los programas orientados a objetos utilizan muchos objetos para realizar las acciones que se desean realizar y ellos mismos también son objetos. Es decir, el taller de coches será un objeto que utilizará objetos coche, herramienta, mecánico, recambios, etc.

PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO, DIFICULTAD DE ABSTRACCIÓN

Todas las personas tienen la capacidad de aprender nuevos conocimientos, habilidades, destrezas, etc. En realidad, cuando aprendemos, lo que estamos haciendo es extraer lo más importante de la información nueva que se nos presenta, memorizar esa información e integrarla en lo que ya sabíamos.
Todas las personas tienen la capacidad de aprender nuevos conocimientos, habilidades, destrezas, etc. En realidad, cuando aprendemos, lo que estamos haciendo es extraer lo más importante de la información nueva que se nos presenta, memorizar esa información e integrarla en lo que ya sabíamos.

Tener dificultades de abstracción significa tener dificultades para:
- Extraer información importante: síntesis, resúmenes, matemáticas, etc.
- Detectar la idea principal.
- Generalizar su aprendizaje a situaciones nuevas.
- Seguir una secuencia lógica.
- Comprender conceptos amplios como solidaridad, respeto, paz, entre otros.
- Comprender juegos de palabras.

Por tanto, los problemas para el pensamiento y dificultades de abstracción no hacen a la persona incapaz de aprender, simplemente hacen más lento ese aprendizaje.

Los padres y educadores deben:
- Confiar en la capacidad de su hijo o hija.
- Cuidar su autoestima.
- Ser pacientes.
- Utilizar sencillez para cualquier explicación.
- Premiar los avances dando ánimos y no castigar.

Lo cierto es que ninguna dificultad de abstracción es idéntica en dos personas distintas; a dos
niños les puede suponer mucho esfuerzo subrayar la idea más importante de un texto, pero uno lo logra hacer solo con algo más de tiempo y el otro necesita que una persona le ayude.
Por otro lado, la actitud de los padres y profesores frente al niño es fundamental. Cuando surgen dudas, es necesario contar con el conocimiento de un profesional.
La clave está en fijarse más en las capacidades de cada persona, que en sus dificultades, porque reforzando la autoestima y dando a conocer unas buenas técnicas de estudio cualquier dificultad es superable o mejorable.


El trabajo se realiza de manera individual y por profesionales (psicologos y pedagogos) con amplia experiencia en
problemas de aprendizaje.
Además del trabajo indivudualizado contamos con cursos Técnicas de Estudio, enfocado a todos los niños que quieran mejorar su rendimiento en el aprendizaje. Habitualmente los realizamos en los períodos vacacionales de los niños.Consulte nuestro
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ABSTRACCIÒN

El marco teórico: aspectos generales
 
Lo que se apunta a continuación es un resumen de lo que se ha escrito acerca del marco epistemológico referido; entre las referencias principales a este marco se encuentran Piaget y García (1984), Asiala et al. (1996), Dubirisky y Scliwingendorf (1991) y Dubinsky
(1991).
 
Entre los objetivos que se persiguen con este marco epistemológico está ,,entender los aspectos constructivos del conocimiento y su contribución a los aspectos metodológicos en la instrucción, es decir, comprender las maneras en las que un estudiante construye conceptos o adquiere habilidades para enfrentar y resolver problemas..." (Asiala et al., 1996). Aquí, el entendimiento es descrito a través de construcciones mentales que realiza un estudiante.
 
Para Piaget y García (1984), el dar explicaciones a un problema depende de las preguntas que se hagan, además del marco epistemológico en donde se respondan tales preguntas; en el caso que nos ocupa ‑explicar los aspectos constructivos del conocimiento‑ se tratará de responder inicialmente mediante las preguntas:
 
 ¿Qué es el conocimiento y cómo se adquiere?, y en particular  ¿qué es el conocimiento matemático y cómo se construye?
 
En el marco que nos ocupa, se consideran tres componentes para investigar el estudio del desarrollo cognitivo de un individuo en proceso de aprender un con cepto matemático que toma lugar por refi namientos sucesivos, que son:
 
• Análisis teórico de la epistemología del concepto en cuestión. Aquí se revisan cuestiones como qué significa entender el concepto y cómo puede ser construido el entendimiento en el estudiante. Este análisis está basado inicialmente en el entendimiento propio del investigador, debido a su experiencia y aprendizajes del concepto. El propósito del análisis teórico de un concepto es proponer una epistemología, esto es, las posibles construcciones mentales específicas que un estudiante podría realizar para desarrollar su entendimiento del concepto.
 
• Diseño de instrucción. Con base en el análisis anterior se diseña un tratamiento instruccional inicial, para después recabar datos de un análisis clínico y observar los resultados del diseño.
 
• Revisión del análisis teórico. Revisión y/o entendimiento más profundo de la epistemología del concepto en cuestión, lo cual puede desembocar en la repetición de otro ciclo.
 
La finalidad de estos componentes es:
 
• Incrementar el entendimiento propio de cómo se lleva a cabo el aprendizaje de las matemáticas.
 
• Desarrollar una pedagogía basada en lo anterior para usarla en la instrucción de matemáticas a nivel de licenciaturas.
 
• Desarrollar una base de información y técnicas de asesoramiento a la luz de la epistemología y la pedagogía asociadas al concepto.
 
 Explicar la relación entre los tratamientos instruccionales y el análisis teórico.
 
El papel de los maestros, en este marco teórico, será el de facilitar el proceso de aprendizaje por medio de actividades y experiencias que motiven a los estudiantes para que usen sus esquemas existentes, a fin de interiorizar fenómenos apropiados y construir las estructuras mentales sugeridas por esas experiencias
 
Las bases piagetianas del marco
 
Uno de los mecanismos de adquisición de conocimientos descritos por Piaget y García (1984), es la secuenciación de construcciones mentales, en donde cada secuencia es resultado de una precedente y es condición necesaria para la secuencia posterior. Cada secuencia nueva comienza por una reorganización, en un nivel más alto, de los conocimientos adquiridos en la secuencia anterior, y en cada una un individuo tratará de asimilar un conocimiento nuevo. En el intento de asimilación pueden ocurrir dos posibilidades:
 
 Los conocimientos son incorporados aplicando las estructuras cognitivas preexistentes, o éstos encontrarán resistencia para ser asimilados, lo cual ocasiona desequilibrios; de aquí que deben ocurrir adecuaciones o reorganizaciones de las estructuras cognitivas preexistentes, de modo que se efectúe una reequilibración que lleve a acomodar los conocimientos nuevos. Los procesos de reequilibración dependen de dos factores:
 
a) la adecuación de estructuras preexistentes para adaptarse al nuevo conocimiento o
 
b) el grado en que el individuo reconoce su adecuación o inadecuación para asimilar el  nuevo conocimiento, en caso de que no preexistan estructuras suficientemente avanzadas.
 
Una vez que el nuevo conocimiento se ha asimilado, se genera un nuevo ciclo con una reorganización de las estructuras adquiridas para asimilar un conocimiento nuevo. Cada una de esas reorganizaciones está acompañada por uno de los instrumentos más importantes para la construcción de conocimientos, que es la forma más importante de equilibración llamada abstracción reflexiva. Este instrumento de construcción de conocimiento es descrito a partir de la abstracción empírica, que se refiere a la extracción de informaciones externas de objetos, informaciones que son internalizadas (por medio de acciones) por un sujeto.
 
La abstracción reflexiva se describe (Piaget y García, 1984) como lo opuesto a la abstracción empírica, en el sentido en que tiene lugar a partir de dos procesos conjugados, que son:
 
1 . Una de ellas es una proyección del conocimiento existente sobre un plano superior de pensamiento.
 
2. La otra se refiere a la organización y reconstrucción de ese conocimiento para formar estructuras nuevas.
 
De ese modo, la abstracción reflexiva se puede describir como las coordinaciones generales de acciones de un sujeto (acciones completamente internas) sobre objetos. Esto es, la construcción de acciones mentales sobre objetos mentales.
 
Intermedia entre estos tipos de abstracción está la abstracción seudoempírica, que relaciona las propiedades de los objetos por las acciones del sujeto sobre ellos.
 
Estas clases de abstracción no son independientes entre sí, pues en un proceso de construcción la abstracción seudoempírica extrae conocimiento de los objetos por medio de acciones (que pueden ser físicas o imaginadas) sobre ellos, mientras que la abstracción reflexiva interioriza y coordina estas acciones para formar nuevas acciones y más objetos; entonces, la abstracción seudoempírica extrae datos de estos últimos objetos mediante acciones mentales sobre ellos y así sucesivamente.
 
El poder real de la abstracción reflexiva surge cuando el individuo es capaz de disociar las propiedades de un objeto, o bien separa la forma de su contenido.
 
Como una extensión de los procesos de construcción descritos en la teoría de Piaget y García (1984), en el marco de las construcciones mentales de las acciones, procesos, esquemas y objetos, se consideran cinco formas de construcción (denominadas aspectos constructivos de la abstracción reflexiva) determinadas por las observaciones a estudiantes (Dubinsky, 1991), que son:
 
 Uso del lenguaje simbólico, pictórico o de imágenes mentales.
 
  Coordinación de dos o más procesos para construir otro nuevo, esto es, se considera el acto cognitivo de tomar dos o más procesos para construir un nuevo proceso, lo cual puede ser realizado por simple concatenación o bien por medio de procesos organizados en lazos.
 
• Encapsulación: conversión de un proceso dinámico en uno estático.
 
• Generalización: cuando el sujeto es capaz de aplicar un esquema a una colección amplia de situaciones (esto es mencionado por Piaget como asimilación reproductiva, y la generalización es extensional),
 
• Reversibilidad: cuando el sujeto es capaz de interiorizar un proceso encapsulándolo para después desencapsularlo '; en otras palabras, la reversibilidad se presenta cuando el sujeto es capaz de recorrer en sentido inverso un proceso que ya ha interiorizado.
 
Acciones, procesos, objetos y esquemas (APOE)
 
En forma específica, el conocimiento matemático de una persona, para este marco, significa "su tendencia para responder a problemas o situaciones matemáticas por reflexión sobre problemas y su solución en un contexto social y construyendo o reconstruyendo acciones, procesos y objetos, y organizando éstos en esquemas para usarlos en el tratamiento de las situaciones..." (Asiala et al., 1996, p. 6). En esta declaración sobresalen los términos acción, proceso, objeto y esquema, que bajo este marco se describen como:
 
 Acciones: una acción es una (o un conjunto de) manipulación física o mental sobre objetos. Y las acciones pueden ser el calcular el valor de una función en un número determinado, el cálculo del grupo de homotopía de un espacio topológico, la determinación del espacio dual de un espacio vectorial, etcétera.
 
Proceso: se puede describir como una serie de acciones sobre un objeto con la particularidad de que el individuo controla conscientemente las acciones sobre el objeto (es decir, puede describir paso a paso las acciones, puede invertirlas, puede coordinar y componer una transformación con otras transformaciones para obtener una nueva, etcétera).
 
Interiorización: proceso mediante el cual un individuo realiza una construcción mental en respuesta a un fenómeno, que puede ser una acción interna, una percepción o una experiencia resultante de una actividad cognitiva. Cuando un individuo puede controlar una acción conscientemente, entonces la acción es interiorizada y la acción se transforma en proceso.
 
Objetos: cuando una persona reflexiona acerca de las operaciones aplicadas en un proceso particular, llega a tomar conciencia del mismo como una totalidad y puede efectuar y construir acciones o transformaciones sobre él, entonces se dice que ese proceso ha sido encapsulado en un objeto. Se dice, por otra parte, que un objeto se construye cuando un proceso se ha encapsulado. Son objetos los números, las variables, las funciones, los espacios topológicos, los grupos, etc. Cuando se ejecutan acciones o procesos sobre un objeto, a veces es necesario desencapsular el objeto, en el sentido de revertir un proceso, para desde ahí usar sus propiedades para manipularlo.
 
Esquemas: una colección coherente de acciones, procesos y objetos. Un esquema puede ser una colección de acciones, procesos, objetos y aun otros esquemas. De este modo hay una relación dialéctica en espiral, pues los objetos pueden ser transformados por nuevas acciones (o acciones de alto nivel), lo cual lleva a nuevos procesos, objetos y esquemas. Cuando un esquema es tratado como un objeto, entonces se dice que el esquema ha sidotematizado como un objeto.
 
En la descripción del significado del conocimiento matemático sobresalen algunas declaraciones, como la tendencia a responder o la solución de problemas en un contexto social. La primera de éstas se refiere a lo que una persona puede hacer o responder ante un problema en un momento dado, lo cual no implica que esa persona pueda hacerlo en forma exitosa. La segunda declaración tiene que ver con la necesidad de interacciones sociales, de los estudiantes, en sus tareas.
 
El marco APOE en el aula
 
Bajo la idea de que el proceso que se sigue para la construcción de un conocimiento comienza con objetos sobre los cuales el individuo ejercerá cierto número de acciones, hasta que llegue a interiorizar estas acciones (es decir, forme un proceso) y las encapsule en un concepto, o bien que utilice esas acciones para coordinarlas con otras y construir nuevos conceptos, en el marco APOE se sugiere la siguiente metodología para llevarla al salón de clases, específicamente en la enseñanza de conceptos lógico‑matemáticos:
 
• Determinar la descomposición genética del concepto, lo cual consiste en la descomposición en pequeñas porciones de una estructura de conocimiento.
 
• Inducir a los estudiantes a ejecutar las abstracciones reflexivas requeridas.
 
• Explicación y práctica.
 
El primer paso en la búsqueda de la descomposición es el diseño de una entrevista con los estudiantes, con la finalidad de observar en ellos sus habilidades, sus estructuras cognitivas previas, etcétera.
 
En este mismo punto, el investigador debe diseñar la instrucción haciéndose las preguntas:
 
• ¿Cómo puedo hacer que los estudiantes lleguen a interiorizar un proceso?
 
• ¿Cómo puedo hacer para que ellos coordinen dos o más de estos procesos de modo que respondan a situaciones en las que se necesita construir la composición de esos procesos?
 
• ¿Cómo puedo hacer para que ellos encapsulen varios procesos?
 
Una estrategia para alentar en los estudiantes la realización de construcciones mentales propuestas por el análisis epistemológico es la organización, en un ambiente computacional, de la instrucción alrededor de acciones, procesos, objetos y esquemas. Esto puede hacerse al asignar tareas que requieren que ellos escriban o revisen códigos o programas de computadora; la idea es que cuando se escribe un programa de computadora, esto afecta la mente (Dubinsky, Schwingendorf, 1991). Algunas de las hipótesis sobre los efectos de esta estrategia son:
 
• Las tareas de computadora facilitan la 1 base para una experiencia concreta que, más tarde, se concretizará en la abstracción.
 
  Alientan las construcciones mentales! específicas propuestas por el análisis epistemológico.
 
Con esta misma perspectiva, los procesos se construyen mediante acciones concebidas para reconstruir las acciones como procesos, por ejemplo, la escritura de programas para realizar cálculos específicos para una función, de modo que estas acciones lleguen a ser interiorizadas y así las acciones se conviertan en procesos.
 
Los objetos son obtenidos por encapsulación de procesos; esto puede representar dificultades, porque una acción no puede ser aplicada a un proceso hasta después de que el proceso ha sido encapsulado como objeto. Las construcciones mentales no ocurren en la secuencia lineal, por lo que puede pasar que, para crear un objeto, la encapsulación de un proceso para formar un objeto y la acción de una acción sobre ese objeto, pueden darse al mismo tiempo, inicialmente en una combinación amorfa con una diferencia gradual. La reorganización e integración culmina en la aplicación clara de la acción sobre el objeto.
 
El siguiente paso es el análisis de lo hecho hasta este punto mediante la recolección de datos, lo cual se hace por medio de cuestionarios y entrevistas audiograbadas y videograbadas con los estudiantes. Una vez que se recolectaron los datos, el análisis teórico de éstos está enfocado a investigar si las construcciones específicas del análisis teórico están siendo coustruidas por los estudiantes que se encuentran aprendiendo un concepto; en otras palabras, nos preguntamos si las construcciones están siendo exitosas o están fallando, y si las construcciones propuestas forman una explicación razonable del por qué algunos estudiantes aparentan aprender el concepto y otros no.
 
Una vez analizados los datos recolectados, se vuelve el ciclo, con la revisión y/o reformulación de la descomposición genética, su puesta en práctica, etcétera.
 
Las construcciones asociadas al concepto defunción
 
Bajo la perspectiva de este marco de construcciones mentales, se han diseñado descomposiciones genéticas de varios conceptos matemáticos, entre las que sobresalen las siguientes: inducción matemática, compacidad, funciones, composición de funciones, límites, etcétera.
 
Por lo que toca a las funciones, las investigaciones reportan que los estados por los que un estudiante pasa para la construcción del concepto de función son:
 
• Prefunción: cuando los estudiantes no tienen idea del concepto de función.
 
• Acción: cuando el estudiante es capaz de manipular física o mentalmente los objetos, lo que en este caso significa que el individuo sea capaz de operar con expresiones algebraicas (sumar, restar, sustituir números y evaluar, etcétera).
 
• Proceso: cuando el sujeto es capaz de pensar completamente en acciones y transformaciones sobre objetos, además de combinar estas acciones para obtener nuevos objetos.
 
En todos estos casos, el proceso de formación o construcción del concepto de función no necesariamente sigue el orden lineal anterior, es decir, el proceso no es unidireccional.
 
Los estados mencionados fueron los que se consideraron para clasificar el nivel en el que los estudiantes se encuentran antes y después de la experimentación. En los diseños de instrucción, generados por las descomposiciones genéticas, se ha determinado que la construcción del concepto de función debe articular las posibles formas de una función, como una tabla de valores, su gráfica, su fórmula, y su definición como pares ordenados.
 
Otra de las formas que puede tener una función se encontró en la aplicación de una descomposición genética para la inducción matemática. Ahí se determinó que, para que un estudiante pueda demostrar la expresión lógica
 
si P(n) e* Q(n) entonces P(n+ 1) ‑> Q(n+ l),
 
entonces debería ser capaz de conceptualizar esta expresión como una función de valores booleanos.
 
Otro punto relevante que se obtuvo a partir de las entrevistas con los estudiantes, se refiere a la necesidad de la reversibilidad como forma de construir el concepto de una función inyectiva, a partir de la definición de función como un conjunto de pares ordenados.
 
Asimismo, se ha determinado que, para que un estudiante pueda acceder a conceptos tales como límites de funciones, regla de la cadena, inducción matemática, compacidad etc., dicho estudiante deberá tener las construcciones mentales necesarias para manejar una función en todas las formas mencionadas. De lo contrario ese estudiante podrá evaluar una función, en algunos puntos, solamente si tiene la fórmula funcional, y no tendrá idea de qué hacer en una función definida en dos o más partes, derivará funciones solamente con las reglas de derivación, no podrá efectuar composiciones de funcio­nes, etcétera.