ABSTRACCIÒN

El marco teórico: aspectos generales

 

Lo que se apunta a continuación es un resumen de lo que se ha escrito acerca del marco epistemológico referido; entre las referencias principales a este marco se encuentran Piaget y García (1984), Asiala et al. (1996), Dubirisky y Scliwingendorf (1991) y Dubinsky

(1991).

 

Entre los objetivos que se persiguen con este marco epistemológico está ,,entender los aspectos constructivos del conocimiento y su contribución a los aspectos metodológicos en la instrucción, es decir, comprender las maneras en las que un estudiante construye conceptos o adquiere habilidades para enfrentar y resolver problemas..." (Asiala et al., 1996). Aquí, el entendimiento es descrito a través de construcciones mentales que realiza un estudiante.

 

Para Piaget y García (1984), el dar explicaciones a un problema depende de las preguntas que se hagan, además del marco epistemológico en donde se respondan tales preguntas; en el caso que nos ocupa ‑explicar los aspectos constructivos del conocimiento‑ se tratará de responder inicialmente mediante las preguntas:

 

 ¿Qué es el conocimiento y cómo se adquiere?, y en particular  ¿qué es el conocimiento matemático y cómo se construye?

 

En el marco que nos ocupa, se consideran tres componentes para investigar el estudio del desarrollo cognitivo de un individuo en proceso de aprender un con cepto matemático que toma lugar por refi namientos sucesivos, que son:

 

• Análisis teórico de la epistemología del concepto en cuestión. Aquí se revisan cuestiones como qué significa entender el concepto y cómo puede ser construido el entendimiento en el estudiante. Este análisis está basado inicialmente en el entendimiento propio del investigador, debido a su experiencia y aprendizajes del concepto. El propósito del análisis teórico de un concepto es proponer una epistemología, esto es, las posibles construcciones mentales específicas que un estudiante podría realizar para desarrollar su entendimiento del concepto.

 

• Diseño de instrucción. Con base en el análisis anterior se diseña un tratamiento instruccional inicial, para después recabar datos de un análisis clínico y observar los resultados del diseño.

 

• Revisión del análisis teórico. Revisión y/o entendimiento más profundo de la epistemología del concepto en cuestión, lo cual puede desembocar en la repetición de otro ciclo.

 

La finalidad de estos componentes es:

 

• Incrementar el entendimiento propio de cómo se lleva a cabo el aprendizaje de las matemáticas.

 

• Desarrollar una pedagogía basada en lo anterior para usarla en la instrucción de matemáticas a nivel de licenciaturas.

 

• Desarrollar una base de información y técnicas de asesoramiento a la luz de la epistemología y la pedagogía asociadas al concepto.

 

 Explicar la relación entre los tratamientos instruccionales y el análisis teórico.

 

El papel de los maestros, en este marco teórico, será el de facilitar el proceso de aprendizaje por medio de actividades y experiencias que motiven a los estudiantes para que usen sus esquemas existentes, a fin de interiorizar fenómenos apropiados y construir las estructuras mentales sugeridas por esas experiencias

 

Las bases piagetianas del marco

 

Uno de los mecanismos de adquisición de conocimientos descritos por Piaget y García (1984), es la secuenciación de construcciones mentales, en donde cada secuencia es resultado de una precedente y es condición necesaria para la secuencia posterior. Cada secuencia nueva comienza por una reorganización, en un nivel más alto, de los conocimientos adquiridos en la secuencia anterior, y en cada una un individuo tratará de asimilar un conocimiento nuevo. En el intento de asimilación pueden ocurrir dos posibilidades:

 

 Los conocimientos son incorporados aplicando las estructuras cognitivas preexistentes, o éstos encontrarán resistencia para ser asimilados, lo cual ocasiona desequilibrios; de aquí que deben ocurrir adecuaciones o reorganizaciones de las estructuras cognitivas preexistentes, de modo que se efectúe una reequilibración que lleve a acomodar los conocimientos nuevos. Los procesos de reequilibración dependen de dos factores:

 

a) la adecuación de estructuras preexistentes para adaptarse al nuevo conocimiento o

 

b) el grado en que el individuo reconoce su adecuación o inadecuación para asimilar el  nuevo conocimiento, en caso de que no preexistan estructuras suficientemente avanzadas.

 

Una vez que el nuevo conocimiento se ha asimilado, se genera un nuevo ciclo con una reorganización de las estructuras adquiridas para asimilar un conocimiento nuevo. Cada una de esas reorganizaciones está acompañada por uno de los instrumentos más importantes para la construcción de conocimientos, que es la forma más importante de equilibración llamada abstracción reflexiva. Este instrumento de construcción de conocimiento es descrito a partir de la abstracción empírica, que se refiere a la extracción de informaciones externas de objetos, informaciones que son internalizadas (por medio de acciones) por un sujeto.

 

La abstracción reflexiva se describe (Piaget y García, 1984) como lo opuesto a la abstracción empírica, en el sentido en que tiene lugar a partir de dos procesos conjugados, que son:

 

1 . Una de ellas es una proyección del conocimiento existente sobre un plano superior de pensamiento.

 

2. La otra se refiere a la organización y reconstrucción de ese conocimiento para formar estructuras nuevas.

 

De ese modo, la abstracción reflexiva se puede describir como las coordinaciones generales de acciones de un sujeto (acciones completamente internas) sobre objetos. Esto es, la construcción de acciones mentales sobre objetos mentales.

 

Intermedia entre estos tipos de abstracción está la abstracción seudoempírica, que relaciona las propiedades de los objetos por las acciones del sujeto sobre ellos.

 

Estas clases de abstracción no son independientes entre sí, pues en un proceso de construcción la abstracción seudoempírica extrae conocimiento de los objetos por medio de acciones (que pueden ser físicas o imaginadas) sobre ellos, mientras que la abstracción reflexiva interioriza y coordina estas acciones para formar nuevas acciones y más objetos; entonces, la abstracción seudoempírica extrae datos de estos últimos objetos mediante acciones mentales sobre ellos y así sucesivamente.

 

El poder real de la abstracción reflexiva surge cuando el individuo es capaz de disociar las propiedades de un objeto, o bien separa la forma de su contenido.

 

Como una extensión de los procesos de construcción descritos en la teoría de Piaget y García (1984), en el marco de las construcciones mentales de las acciones, procesos, esquemas y objetos, se consideran cinco formas de construcción (denominadas aspectos constructivos de la abstracción reflexiva) determinadas por las observaciones a estudiantes (Dubinsky, 1991), que son:

 

 Uso del lenguaje simbólico, pictórico o de imágenes mentales.

 

•  Coordinación de dos o más procesos para construir otro nuevo, esto es, se considera el acto cognitivo de tomar dos o más procesos para construir un nuevo proceso, lo cual puede ser realizado por simple concatenación o bien por medio de procesos organizados en lazos.

 

• Encapsulación: conversión de un proceso dinámico en uno estático.

 

• Generalización: cuando el sujeto es capaz de aplicar un esquema a una colección amplia de situaciones (esto es mencionado por Piaget como asimilación reproductiva, y la generalización es extensional),

 

• Reversibilidad: cuando el sujeto es capaz de interiorizar un proceso encapsulándolo para después desencapsularlo '; en otras palabras, la reversibilidad se presenta cuando el sujeto es capaz de recorrer en sentido inverso un proceso que ya ha interiorizado.

 

Acciones, procesos, objetos y esquemas (APOE)

 

En forma específica, el conocimiento matemático de una persona, para este marco, significa "su tendencia para responder a problemas o situaciones matemáticas por reflexión sobre problemas y su solución en un contexto social y construyendo o reconstruyendo acciones, procesos y objetos, y organizando éstos en esquemas para usarlos en el tratamiento de las situaciones..." (Asiala et al., 1996, p. 6). En esta declaración sobresalen los términos acción, proceso, objeto y esquema, que bajo este marco se describen como:

 

 Acciones: una acción es una (o un conjunto de) manipulación física o mental sobre objetos. Y las acciones pueden ser el calcular el valor de una función en un número determinado, el cálculo del grupo de homotopía de un espacio topológico, la determinación del espacio dual de un espacio vectorial, etcétera.

 

Proceso: se puede describir como una serie de acciones sobre un objeto con la particularidad de que el individuo controla conscientemente las acciones sobre el objeto (es decir, puede describir paso a paso las acciones, puede invertirlas, puede coordinar y componer una transformación con otras transformaciones para obtener una nueva, etcétera).

 

Interiorización: proceso mediante el cual un individuo realiza una construcción mental en respuesta a un fenómeno, que puede ser una acción interna, una percepción o una experiencia resultante de una actividad cognitiva. Cuando un individuo puede controlar una acción conscientemente, entonces la acción es interiorizada y la acción se transforma en proceso.

 

Objetos: cuando una persona reflexiona acerca de las operaciones aplicadas en un proceso particular, llega a tomar conciencia del mismo como una totalidad y puede efectuar y construir acciones o transformaciones sobre él, entonces se dice que ese proceso ha sido encapsulado en un objeto. Se dice, por otra parte, que un objeto se construye cuando un proceso se ha encapsulado. Son objetos los números, las variables, las funciones, los espacios topológicos, los grupos, etc. Cuando se ejecutan acciones o procesos sobre un objeto, a veces es necesario desencapsular el objeto, en el sentido de revertir un proceso, para desde ahí usar sus propiedades para manipularlo.

 

Esquemas: una colección coherente de acciones, procesos y objetos. Un esquema puede ser una colección de acciones, procesos, objetos y aun otros esquemas. De este modo hay una relación dialéctica en espiral, pues los objetos pueden ser transformados por nuevas acciones (o acciones de alto nivel), lo cual lleva a nuevos procesos, objetos y esquemas. Cuando un esquema es tratado como un objeto, entonces se dice que el esquema ha sidotematizado como un objeto.

 

En la descripción del significado del conocimiento matemático sobresalen algunas declaraciones, como la tendencia a responder o la solución de problemas en un contexto social. La primera de éstas se refiere a lo que una persona puede hacer o responder ante un problema en un momento dado, lo cual no implica que esa persona pueda hacerlo en forma exitosa. La segunda declaración tiene que ver con la necesidad de interacciones sociales, de los estudiantes, en sus tareas.

 

El marco APOE en el aula

 

Bajo la idea de que el proceso que se sigue para la construcción de un conocimiento comienza con objetos sobre los cuales el individuo ejercerá cierto número de acciones, hasta que llegue a interiorizar estas acciones (es decir, forme un proceso) y las encapsule en un concepto, o bien que utilice esas acciones para coordinarlas con otras y construir nuevos conceptos, en el marco APOE se sugiere la siguiente metodología para llevarla al salón de clases, específicamente en la enseñanza de conceptos lógico‑matemáticos:

 

• Determinar la descomposición genética del concepto, lo cual consiste en la descomposición en pequeñas porciones de una estructura de conocimiento.

 

• Inducir a los estudiantes a ejecutar las abstracciones reflexivas requeridas.

 

• Explicación y práctica.

 

El primer paso en la búsqueda de la descomposición es el diseño de una entrevista con los estudiantes, con la finalidad de observar en ellos sus habilidades, sus estructuras cognitivas previas, etcétera.

 

En este mismo punto, el investigador debe diseñar la instrucción haciéndose las preguntas:

 

• ¿Cómo puedo hacer que los estudiantes lleguen a interiorizar un proceso?

 

• ¿Cómo puedo hacer para que ellos coordinen dos o más de estos procesos de modo que respondan a situaciones en las que se necesita construir la composición de esos procesos?

 

• ¿Cómo puedo hacer para que ellos encapsulen varios procesos?

 

Una estrategia para alentar en los estudiantes la realización de construcciones mentales propuestas por el análisis epistemológico es la organización, en un ambiente computacional, de la instrucción alrededor de acciones, procesos, objetos y esquemas. Esto puede hacerse al asignar tareas que requieren que ellos escriban o revisen códigos o programas de computadora; la idea es que cuando se escribe un programa de computadora, esto afecta la mente (Dubinsky, Schwingendorf, 1991). Algunas de las hipótesis sobre los efectos de esta estrategia son:

 

• Las tareas de computadora facilitan la 1 base para una experiencia concreta que, más tarde, se concretizará en la abstracción.

 

•  Alientan las construcciones mentales! específicas propuestas por el análisis epistemológico.

 

Con esta misma perspectiva, los procesos se construyen mediante acciones concebidas para reconstruir las acciones como procesos, por ejemplo, la escritura de programas para realizar cálculos específicos para una función, de modo que estas acciones lleguen a ser interiorizadas y así las acciones se conviertan en procesos.

 

Los objetos son obtenidos por encapsulación de procesos; esto puede representar dificultades, porque una acción no puede ser aplicada a un proceso hasta después de que el proceso ha sido encapsulado como objeto. Las construcciones mentales no ocurren en la secuencia lineal, por lo que puede pasar que, para crear un objeto, la encapsulación de un proceso para formar un objeto y la acción de una acción sobre ese objeto, pueden darse al mismo tiempo, inicialmente en una combinación amorfa con una diferencia gradual. La reorganización e integración culmina en la aplicación clara de la acción sobre el objeto.

 

El siguiente paso es el análisis de lo hecho hasta este punto mediante la recolección de datos, lo cual se hace por medio de cuestionarios y entrevistas audiograbadas y videograbadas con los estudiantes. Una vez que se recolectaron los datos, el análisis teórico de éstos está enfocado a investigar si las construcciones específicas del análisis teórico están siendo coustruidas por los estudiantes que se encuentran aprendiendo un concepto; en otras palabras, nos preguntamos si las construcciones están siendo exitosas o están fallando, y si las construcciones propuestas forman una explicación razonable del por qué algunos estudiantes aparentan aprender el concepto y otros no.

 

Una vez analizados los datos recolectados, se vuelve el ciclo, con la revisión y/o reformulación de la descomposición genética, su puesta en práctica, etcétera.

 

Las construcciones asociadas al concepto defunción

 

Bajo la perspectiva de este marco de construcciones mentales, se han diseñado descomposiciones genéticas de varios conceptos matemáticos, entre las que sobresalen las siguientes: inducción matemática, compacidad, funciones, composición de funciones, límites, etcétera.

 

Por lo que toca a las funciones, las investigaciones reportan que los estados por los que un estudiante pasa para la construcción del concepto de función son:

 

• Prefunción: cuando los estudiantes no tienen idea del concepto de función.

 

• Acción: cuando el estudiante es capaz de manipular física o mentalmente los objetos, lo que en este caso significa que el individuo sea capaz de operar con expresiones algebraicas (sumar, restar, sustituir números y evaluar, etcétera).

 

• Proceso: cuando el sujeto es capaz de pensar completamente en acciones y transformaciones sobre objetos, además de combinar estas acciones para obtener nuevos objetos.

 

En todos estos casos, el proceso de formación o construcción del concepto de función no necesariamente sigue el orden lineal anterior, es decir, el proceso no es unidireccional.

 

Los estados mencionados fueron los que se consideraron para clasificar el nivel en el que los estudiantes se encuentran antes y después de la experimentación. En los diseños de instrucción, generados por las descomposiciones genéticas, se ha determinado que la construcción del concepto de función debe articular las posibles formas de una función, como una tabla de valores, su gráfica, su fórmula, y su definición como pares ordenados.

 

Otra de las formas que puede tener una función se encontró en la aplicación de una descomposición genética para la inducción matemática. Ahí se determinó que, para que un estudiante pueda demostrar la expresión lógica

 

si P(n) e* Q(n) entonces P(n+ 1) ‑> Q(n+ l),

 

entonces debería ser capaz de conceptualizar esta expresión como una función de valores booleanos.

 

Otro punto relevante que se obtuvo a partir de las entrevistas con los estudiantes, se refiere a la necesidad de la reversibilidad como forma de construir el concepto de una función inyectiva, a partir de la definición de función como un conjunto de pares ordenados.

 

Asimismo, se ha determinado que, para que un estudiante pueda acceder a conceptos tales como límites de funciones, regla de la cadena, inducción matemática, compacidad etc., dicho estudiante deberá tener las construcciones mentales necesarias para manejar una función en todas las formas mencionadas. De lo contrario ese estudiante podrá evaluar una función, en algunos puntos, solamente si tiene la fórmula funcional, y no tendrá idea de qué hacer en una función definida en dos o más partes, derivará funciones solamente con las reglas de derivación, no podrá efectuar composiciones de funcio­nes, etcétera.